Предисловие..................................................................................... 6
Глава 1. Вещественные числа................................................... 7
§ 1. Рациональные числа........................................................... 7
§2. Иррациональные числа........................................................ 8
§3. Сравнение вещественных чисел............................................ 9
§4. Точные грани ограниченного числового множества.............. 10
§5. Арифметические операции над вещественными числами ... 14
§6. Некоторые числовые неравенства........................................ 16
§7. Геометрическое изображение вещественных чисел............... 16
§8. Некоторые числовые множества.......................................... 17
Глава 2. Предел функции......................................................... 18
§1. Понятие функции................................................................ 18
§2. Определение предела функции............................................. 19
§3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции............... 25
§4. Свойства пределов функций................................................ 31
§5. Теорема о пределе монотонной функции.............................. 34
Глава 3. Непрерывность функции............................................. 37
§1. Определение непрерывности. Точки разрыва функции.......... 37
§2. Свойства непрерывных функций.......................................... 41
§3. Теорема о существовании и непрерывности обратной функции 43
§4. Непрерывность элементарных функций................................ 44
§5. Замечательные пределы....................................................... 48
Глава 4. Производные и дифференциалы.......................... 53
§1. Определение производной. Производные некоторых основных элементарных функций 53
§2. Физический и геометрический смысл производной............... 56
§3. Дифференцируемость и дифференциал функции................... 59
§4. Правила дифференцирования............................................... 63
§5. Производная обратной функции........................................... 64
§6. Производная сложной функции............................................ 66
§7. Инвариантность формы первого дифференциала.................. 69
§8. Производные высших порядков........................................... 71
§9. Дифференциалы высших порядков....................................... 73
§ 10. Производные вектор-функции............................................ 75
Глава 5. Интегралы............................................................... 81
§1. Первообразная и неопределенный интеграл......................... 81
§2. Основные свойства неопределенных интегралов................... 84
§3. Два метода интегрирования................................................. 85
§4. Интегрирование рациональных функций............................... 88
§5. Понятие определенного интеграла........................................ 94
§6. Суммы Дарбу...................................................................... 97
§7. Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции 101
§8. Классы интегрируемых функций.......................................... 103
§9. Свойства определенного интеграла...................................... 107
§10. Формулы среднего значения................................................ 111
§11. Формула Ньютона-Лейбница............................................. 112
§12. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле 115
§13. Геометрические приложения определенного интеграла.......... 118
§14. Физические приложения определенного интеграла................ 122
§15. Методы приближенного вычисления определенных интегралов 124
Глава 6. Числовые последовательности............................ 134
§ 1. Теорема о стягивающейся системе сегментов...................... 134
§2. Предельные точки последовательности................................ 135
§3. Критерий Коши сходимости последовательности.................. 140
§4. Второе определение предела функции.................................. 142
§5. Критерий Коши существования предела функции.................. 145
Глава 7. Основные теоремы о непрерывных и дифференцируемых функциях 148
§1. Теоремы об ограниченности непрерывных функций............. 148
§2. Равномерная непрерывность функции ................................. 151
§3. Возрастание и убывание функции в точке. Локальный экстремум 152
§4. Теоремы Ролля и Лагранжа.................................................. 153
§5. Формула Коши. Правило Лопиталя...................................... 158
§6. Формула Тейлора................................................................ 163
§7. Формула Маклорена и ее применения.................................. 167
Глава 8. Исследование поведения функций и построение графиков 177
§ 1. Точки локального экстремума и промежутки монотонности
функции 177
§2. Направление выпуклости и точки перегиба графика функции 180
§3. Асимптоты графика функции............................................... 184
§4. Построение графиков функций............................................ 187
§5. Приближенное вычисление корней уравнений....................... 189
Список литературы 198